数学学習の記録 57.1 群(Group)の単位元、逆元の一意性

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

$(G,\ast )=G$

を群(Group)とする。すなわち、

$(1)\forall a,b,c\in G[(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)]\\ (2)\exists e\in G\forall a\in G[a\ast e=e\ast a=e]\\ (3)\forall a\exists b\in G[a\ast b=b\ast a=e]$

((3)のeは(2)のe)

とする。

このとき、

$\forall e_{1},e_{2}\in G\forall a\in G\\ [e_{1}\ast a=a\ast e_{1}=a\wedge e_{2}\ast a=a\ast e_{2}=a\\ \Rightarrow e_{1}=e_{1}\ast e_{2}=e_{2}]$

となるので、(2)の単位元eは一意的に存在する。(Gの単位元は１つしか存在しない)

また、

$\forall a\forall b,c\in G\\ [a\ast b=b\ast a=e\wedge a\ast c=c\ast a=e\\ \Rightarrow b=b\ast e=b\ast (a\ast c)=(b\ast a)\ast c=e\ast c=c]$

となり、Gの元aに対して、その逆元は一意的に定まる。

算法、単位元、aに対する逆元をそれぞれ

加法の場合

$\forall a,b\in G[\ast(a,b)=a+b,e=0,-a]$

乗法の場合

$\foral a,b\in G[\ast(a,b)=ab,e=1,\frac{1}{a} ]$

と記述する。

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2010年1月10日日曜日

数学学習の記録 57.1 群(Group)の単位元、逆元の一意性

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