数学学習の記録 58.1 部分群の判定方法

GoogleドキュメンのTeXによる数式に有力の練習。

(G,*)=Gを群(Group)とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)]\\ (2)\exists e\in G\forall a\in G[e\ast a=a\ast e=a]\\ (3)\forall a\in G\exists b\in G[a\ast b=b\ast a=e]$

群Gの部分集合HがGの部分群であることの必要十分条件。

$(1)H\ne\phi\\ (2)\forall a,b\in H[a\ast b\in H]\\ (3)\forall a\in H[a^{-1}\in H]$

証明してみる。

HがGの部分群ならばHの単位元e'が存在するので

$H\ne \phi$

となり、(1)が成り立つ。

また、算法*について閉じているので、

$\forall a,b\in H[a\ast b\in H]$

よって(2)も成り立つ。

Hは群なのでHの任意の元に対して逆元が存在するので

$\forall a\in H[a^{-1}\in H]$

となり、(3)も成り立つ。

逆に、上記の(1),(2),(3)が成り立つと仮定する。そのとき

$\forall a,b,c\in H[(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)]\\$

はa,b,cは群(Group)Gの元でもあるので成り立つ。

Hの任意の元aに対して(3)よりHにその逆元bが存在し、そして(2)より

$e=a\ast b\in H$

となるので、Hは単位元をもつ。

よって、HはGの部分群である。

証明終了。

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2010年1月12日火曜日

数学学習の記録 58.1 部分群の判定方法

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