数学学習の記録 59 群と合同関係

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(G,*)=Gを群(Group)とする。また算法*についてa*b=abと略して記述することとする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists e\in G\forall a[ae=ea=a]\\ (3)\forall a\exists b\in G[ab=ba=e]$

(3)によって存在する元bをaの逆元といい、以下

$a^{-1}$

と記述することにする。

HをGの部分群とする。

$(1)H\ne\phi\\ (2)\forall a,b\in H[ab\in H]\\ (3)\forall a,b\in H[ab^{-1}=e\Rightarrow b=a^{-1}]$

Gの元a,bがHに関して左合同。

$a^{-1}b\in H$

Gの元a,bがHに関して左合同のとき

$a\equiv b\ (mod\ H)$

と記述する。

Gの元a,bがHに関して右合同。

$ab^{-1}\in H$

Gの元a,bがHに関して左合同かつ右合同のとき、Gの元a,bはHに関して合同という。

Kamimura's blog