数学学習の記録 59.1 群(Group)の合同関係と同値関係

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(G,*)=Gを群(Group)とし、HをGの部分群とする。また以下算法*を省略して記述することにする。

GについてHを法とした左合同関係 $\equiv$ について。

$\forall a\in G[a^{-1}a=e\in G]$

より、

$\forall a\in G[a\equiv a\ (mod\ H)]$

が成り立つ。

また、Hは群(Group)なのでHの任意の元に対して逆元が存在することから、

$\forall a,b\in G[a\equiv b\ (mod\ H)\Leftrightarrow \\ a^{-1}b\in H\Rightarrow(a^{-1}b)^{-1}\in H\Rightarrow\\ b^{-1}a\in H\Leftrightarrow b\equiv a\ (mod\ H)]$

が成り立つ。よって

$\forall a,b\in G[a\equiv b\ (mod\ H)\Rightarrow b\equiv a\ (mod\ H)]$

最後に、

$\forall a,b,c\in G\\ [a\equiv b\ (mod\ H)\wedge b\equiv c\ (mod\ H)\\ \Leftrightarrow a^{-1}b,\ b^{-1}c\in H\Rightarrow (a^{-1}b)(b^{-1}c)\in H$

$\Rightarrow a^{-1}c\in H\Leftrightarrow a\equiv c\ (mod\ H)]$

より、

$\forall a,b,c\in G\\ [a\equiv b\ (mod\ H)\wedge b\equiv c\ (mod\ H)\\ \Rightarrow a\equiv c\ (mod\ H)]$

よってHを法とする左合同関係はGにおいて同値関係である。

同様に右合同関係も同値関係である。

Kamimura's blog

2010年1月12日火曜日

数学学習の記録 59.1 群(Group)の合同関係と同値関係

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