数学学習の記録 60.1 剰余類分解について

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group)、HをGの部分群とする。

すなわちGについて、

$(1)\forall a\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

Hについて、

$(1)H\ne \phi\\ (2)\forall a,b\in H[ab\in H]\\ (3)\forall a\in H[a^{-1}\in H]$

が成り立つとする。

GのHを法とする左合同関係 $\equiv$ でGを類別し、Gの元aを含む同値類(左剰余類)は

$C_{a}=\left{x\in G|\ a^{-1}\equiv x\ (mod\ H)\right\}\\ =\left\{x\in G|a^{-1}x\in H\right\}\\ =\left\{x\in G|\exists h\in H(h=a^{-1}x)\right\}\\ =\left\{x\in G|\exists h\in H(ah=x)\right\}\\ =aH$

GのHを法とする右合同関係についても同様に、Gのaを含むHを法とする右剰余類はHaとなる。

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2010年1月13日水曜日

数学学習の記録 60.1 剰余類分解について

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