数学学習の記録 61 有限群の位数と剰余類分解の指数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

集合Gを群、Hをその部分群とする。

Hに関する合同関係によりGを左剰余類分解したときの異なる左剰余類の個数を指数といい(G:H)と記述することにする。

集合Gを有限群、Hをその(有限)部分群とする。

$o(G)<\aleph_{0}\\<br />(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\<br />(2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\<br />(3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

$(1)1\in H\\<br />(2)\forall a,b\in H[ab\in H]$

Hを法とする合同関係によりGを左剰余類分解する。そのとき、各左剰余類の元の個数はo(H)となる。よって

$o(G)=(G:H)\cdot o(H)$

が成り立つ。

Kamimura's blog

2010年1月14日木曜日

数学学習の記録 61 有限群の位数と剰余類分解の指数について。

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