数学学習の記録 61.2 正規部分群の判定方法

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群、HをGの部分群とすると、次のことが成り立つ。

$\forall a\in G[aH=Ha]\Leftrightarrow\\ \forall a\in G\forall x\in H[axa^{-1}\in H]$

$\Rightarrow$ について

$\forall a\in G\forall x\in H[axa^{-1}\in aHa^{-1}\subset H]$

よって

$\forall a\in G\forall x\in H[axa^{-1}\in H]$

$\Leftarrow$ について

$\forall a\in H[H=a(a^{-1}Ha)a^{-1}\subset aHa^{-1}\subset H]$

よって

$\forall a\in H[aHa^{-1}=H]$

よって上記のことが成り立つ。

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