数学学習の記録 62.1 (正規部分群による)剰余類全体からなる群

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群、NをGの正規部分群とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

$(1)N\ne\phi\\ (2)\forall a,b\in N[ab\in N]\\ (3)\forall a\in N[a^{-1}\in N]$

$\forall a\in G[aN=Na]$

あるいは

$\forall a\in G\forall x\in N[axa^{-1}\in H]$

またNを法としてGを剰余類分解し、その剰余類全体の集合をG/Nと記述することにする。

このとき、次のことが成り立つ。

$\forall a,b\in G[(aN)(bN)\in G/N]$

またこの積に関して剰余類全体の集合は群となる。

$(1)\forall aN,bN,cN\in G/N\\ [((aN)(bN))(cN)=(aN)((bN)(cN))]\\ (2)\exists eN\in G/N\forall aN\in G/N\\ [(eN)(aN)=(aN)(eN)=aN]\\$

$(3)\forall aN\in G/N\exists a^{-1}N\in G/N\\ [(aN)(a^{-1}N)=(a^{-1}N)(aN)=eN]$

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