数学学習の記録 62.3 正規部分群と準同形写像

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

G,G'を群、NをGの正規部分群とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

G'についても同様。

$N\subset G\\ (1)N\ne\phi\\ (2)\forall a,b\in N[ab\in N]\\ (3)\forall a\in N[a^{-1}\in N]$

fがGからG'への準同形写像。

$f:G\rightarrow G'$

$\forall a,b\in G[f(ab)=f(a)f(b)]$

群Gから商群G/Nへの標準的準同形写像。

$\forall a\in G[\varphi(a)=aN]$

上記が準同形写像であることの確認。

$\forall a,b\in G\\ [\varphi(ab)=abN=(aN)(bN)=\varphi(a)\varphi(b)]$

(群Gの正規部分群Nに関する剰余類全部の集合、商群G/Nの単位元はN)

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