数学学習の記録 63 同型写像と群の同型について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

G,G'を群(Group)とし、fをGからG'への準同形写像とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

G'についても同様。

$\forall a,b\in G[f(ab)=f(a)f(b)$

fが同型写像。

$\forall a'\in G'\exists a\in G[f(a)=a']\wedge\\ \forall a,b\in G[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b]$

(準同形写像が全単射)

また、同型写像fが存在するとき、G,G'を同型といい、

$G\simeq G'$

と記述することにする。

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