数学学習の記録 63.1 群の同型について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

G、G'を群(Group)とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

G'についても同様。

さらにG、G'が同型とする。すなわち次のような写像fが存在する。

fはGからG'への同型写像。

$\forall a,b\in G[f(ab)=f(a)f(b)]\wedge\\ \forall a,b\in G[f(a)=f(b)\Rightarrow a=b]\wedge\\ \forall a'\in G'\exists a\in G[f(a)=a']$

また、群同士の関係 $\simeq$ について次のことが成り立つ。

$(1)G\simeq G\\ (2)G\simeq G'\Rightarrow G'\simeq G\\ (3)G\simeq G'\wedge G'\simeq G''\Rightarrow G\simeq G''$

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