数学学習の記録 64 群(Group)と準同型写像の核について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

G,G'を群(Group)、fをGからG'への準同型写像とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

G'についても同様。G'単位元を1'と記述することにする。

$f:G\rightarrow G'\\ \forall a,b\in G[f(ab)=f(a)f(b)]$

fの核(kernel)。

$Kerf=\left\{x\in G|f(x)=1']$

NをGの正規部分群、G/NをGのNによる商群とする。

$\forall a\in G[aN=Na]$

$(1)\forall aN,bN,cN\in G/N\\ [(aNbN)cN=aN(bNcN)]\\ (2)\exists N\in G/N\forall aN\in G/N\\ [NaN=aNN=aN]\\ (3)\forall aN\in G/N\exists a^{-1}N\in G/N\\ [a^{-1}NaN=aNa^{-1}N=N]$

また、 $\varphi$ をGからG/Nへの標準的写像とする。

$\varphi:G\rightarrow G/N\\ \forall a\in G[\varphi(a)=aN]$

このとき次のことが成り立つ。

$Ker\varphi=N$

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2010年1月17日日曜日

数学学習の記録 64 群(Group)と準同型写像の核について。

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