数学学習の記録 64.1 準同型定理

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

G,G'を群(Group),fをGからG'への準同型写像、fの核をNとする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

G'についても同様。Gの単位元は1'とする。

$f:G\rightarrow G'\\ \forall a,b\in G[f(ab)=f(a)f(b)$

ここで、

$f(1)=f(1)f(1)f(1)^{-1}=\\ f(11)f(1)^{-1}=f(1)f(1)^{-1}=1'$

より

$1\in N$

また、

$\forall a,b\in N[f(ab)=f(a)f(b)=1'1'=1']$

より

$\forall a,b\in N[ab\in N]$

また、

$\forall a\in N[f(a^{-1})=f(a^{-1})f(a)f(a)^{-1}=\\f(a^{-1}a)f(a)^{-1}=f(a)^{-1}=1'^{-1}=1'1^{-1}=1']$

より

$\forall a\in N[a^{-1}\in N]$

よってNはGの部分群である。また、

$\forall a\in G\forall x\in N[f(axa^{-1}=f(a)f(x)f(a^{-1})\\ =f(a)1'f(a)^{-1}=f(a)f(a)^{-1}=1']$

より

$\forall a\in G\forall x\in N[axa^{-1}\in N]$

よって、準同型写像fの核NはGの正規部分群となる。

写像gを以下のように定める。

$g:G/N\rightarrow f(G)\\ \forall aN\in G/N[g(aN)=f(a)]$

このとき、gはG/Nからf(G)への同型写像となる。よって、

$G/N\simeq f(G)$

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