数学学習の記録 65 内部自己同型について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group)、aをGの１つの元とする。

$(1)\forall x,y,z\in G[(xy)z=x(yz)\\ (2)\exists 1\in G\forall x\in G[1x=x1=x]\\ (3)\forall x\in Gx^{-1}\in G[xx^{-1}=x^{-1}x=1]$

$a\in G$

Gの内部自己同型。

$\forall x\in G[\sigma_{a}(x)=axa^{-1}]$

上記が準同型写像であることを確認。

$\forall x,y\in G[\sigma_{a}(xy)=axya^{-1}\\ =axa^{-1}aya^{-1}=\sigma_{a}(x)\sigma_{a}(y)]$

単射であることを確認。

$\forall x,y\in G[\sigma_{a}(x)=\sigma_{a}(y)\Rightarrow \\ axa^{-1}=aya^{-1}\Rightarrow x=y]$

全射であることを確認。

$\forall y\in G[\sigma_{a}(a^{-1}ya)=a(a^{-1}ya)a^{-1}=y]$

よって

$\forall y\in G\exists x\in G[\sigma_{a}(x)=y]$

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