数学学習の記録 65.1 内部自己同型と共役について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group),a,bをGの元とする。

$(1)\forall x,y,z\in G[(xy)z=x(yz)]\\ (2)\exists 1\in G\forall x\in G[1x=x1=x]\\ (3)\forall x\in G\exists x^{-1}\in G[xx^{-1}=x^{-1}x=1]$

$a,b\in G$

aはbに共役。

$\exists s\in G[\sigma_{s}(a)=sas^{-1}=b\\ (\forall x\in G[\sigma_{s}(x)=sxs^{-1})]$

aはbに共役であるとき、

$a\sim b$

と記述することにする。この関係について、

$\forall a\in G[a=1a1^{-1}]$

$\forall a,b\in G\exists s\in G\\ [sas^{-1}=b\Rightarrow a=s^{-1}as=(s^{-1})a(s^{-1})^{-1}]$

$\forall a,b,c\in G\exists s,t\in G\\ [sas^{-1}=b\wedge tbt^{-1}=c\Rightarrow\\ tsbs^{-1}t^{-1}=c\Rightarrow(ts)b(ts)^{-1}=c]$

よって共役 $\sim$ はGの同値関係となる。

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