数学学習の記録 65.3 群(Group)の中心Z(G)について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group)とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}\in G[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

Gの中心Z(G)。

$Z(G)=\left\{x\in G|\forall a\in G[ax=xa]\right\}$

Gの中心Z(G)について。

$\forall a\in G[1a=a=a1]$

より

$1\in Z(G)$

また、

$\forall x,y\in Z(G)\forall a\in G[axy=xay=xya]$

より

$\forall x,y\in Z(G)[xy\in Z(G)]$

また、

$\forall x\in Z(G)\forall a\in G\\ [x^{-1}a=x^{-1}axx^{-1}=\\ x^{-1}xax^{-1}=ax^{-1}]$

より

$\forall x\in Z(G)[x^{-1}\in Z(G)]$

よって群Gの中心Z(G)はGの部分群となる。

また、Z(G)の定義により

$\forall a\in G[aZ(G)=Z(G)a]$

よって群Gの中心Z(G)はGの正規部分群となる。

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