数学学習の記録 65.2 正規化群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group)、aをGの元とする。

$(1)\forall x,y,z\in G[(xy)z=x(yz)\\ (2)\exists 1\in G\forall x\in G[1x=x1=x]\\ (3)\forall x\exists x^{-1}\in G[xx^{-1}=x^{-1}x=1]$

$a\in G$

Gにおけるaの正規化群。

$N(a)=\left\{x\in G|ax=xa\right\}$

N(a)がGの部分群であることの確認。

より

$1\in N(a)$

また、

$\forall x,y\in N(a)[axy=a(a^{-1}xa)(a^{-1}ya)=xya]$

より

$\forall x,y\in N(a)[xy\in N(a)]$

そして、

$\forall x\in N(a)[ax^{-1}=a(a^{-1}xa)=xa]$

より

$\forall x\in N(a)[x^{-1}\in N(a)]$

よって、Gにおけるaの正規化群N(a)はGの部分群となっている。

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