数学学習の記録 66.1 対称群と置換について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを空でない集合、GをXからXへの全単射全部の集合とする。このときGの写像の合成に関して、

$\forall f,g,h\in G[(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)]$

また、

$\exists I_{X}\in G\forall f\in G[i_{X}\circ f=f\circ I_{X}=f]$

また、

$\forall f\in G\exists f^{-1}\in G[f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=I_{X}]$

よってGは算法を写像の合成とすれば群(Group)となる。この群をXの対称群といい、

と記述することし、S(X)の元をXの置換という。

また、Xが有限集合のとき、すなわち

$card\ S(X)=n<\aleph_{0}(n\in N)$

のとき、S(X)をn次の対称群といい、

$S(X)=S_{n}$

と記述することにする。

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