数学学習の記録 66.2 対称群の部分群、置換群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを集合としS(X)をXの対称群、すなわちXからXへの全単射(置換)全部の集合で算法は写像の合成とする。

S(X)の部分群を置換群という。

$G\subset S(X)\\ (1)I_{X}\in G\\ (2)\forall f,g\in G[f\circ g\in G]\\ (3)\forall f\in G[f^{-1}\in G]$

Xが有限集合、すなわち

$card\ X<\aleph_{0}$

の場合を考える。そのとき、card X=nとし、S(X)を

$S(X)=S_{n}$

と記述することにする。そのとき、

$card\ S_{n}=n!=n\cdot(n-1)\ \cdot\ \cdot\ \cdot 1$

となる。また、このn次の対称群の構造はnによって定まるので構造を考察するうえで、有限集合Xを

$X=\left\{x\in N|1\leq x\leq n\right\}$

としても差し支えない。

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