数学学習の記録 66 巡回群の部分群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを巡回群とし、aをGの生成元とする。また、写像fを

$f:Z\rightarrow G\\ \forall k\in Z[f(k)=a^{k}]$

とする。そのとき、定義よりfは全射である。また

$\forall k_{1},k_{2}\in Z\\ [f(k_{1}k_{2})=a^{k_{1}k_{2}}=a^{k_{1}}a^{k_{2}}=f(a^{k_{1}})f(a^{k_{2}})]$

よりfは準同型写像なので、fは全射準同型となる。

HをGの部分群とする。

$H\subset G\\ (1)1\in H\\ (2)\forall a,b\in H[ab\in H]\\ (3)\forall a\in G[a^{-1}\in H]$

また、

$f^{-1}(H)=A$

とするとAはZの部分群である。よってAは巡回群である。

$(1) \exists n\in Z(n\geq0)[A=nZ]$

fは全射なので、

$f(A)=H\\$

よって

$\forall h\in H\exists m\in Z[h=a^{nm}]$

(このnは上記(1)のn)

よってHは

$a^{n}$

によって生成される巡回群となる。

結論:巡回群の部分群は巡回群。

Kamimura's blog