数学学習の記録 67.3 零元と単位元が等しい環について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring)とし、単位元を1、零元を0と記述することにする。

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R[0+a=a+0=a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[a(bc)=(ab)c]\\ (6)\forall a,b,c\in R[a(b+c)=ab+ac\\ \wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]$

この環(Ring)Rについて、零元と単位元が等しい、すなわち0=1とする。このとき

$\forall a\in R[0a=(0+0)a=0a+0a]$

より、

$\forall a\in R[0a=0]$

となるので、

$\forall a\in R[a=1a=0a=0]$

すなわち、

$\forall a\in R[a=0](R=\left\{0\right\})$

となり、Rは0元のみからなる環(Ring)となる。この環(Ring)のことを零環という。

Kamimura's blog

2010年1月21日木曜日

数学学習の記録 67.3 零元と単位元が等しい環について。

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