数学学習の記録 74 1次結合全部の集合について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Vを体K上のベクトル空間(vector space)とする。

$V\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in V[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in V\forall x\in V[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in V\exists -x\in V[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in V[x+y=y+x]$

$(5)\forall a,b\in K\forall x\in V[(a+b)x=ax+bx]\\ (6)\forall a\in K\forall x,y\in V[a(x+y)=ax+ay]\\ (7)\forall a,b\in K\forall x\in V[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in V[1x=x]$

Vのn個の元を

$x_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\in V(n\in N)$

とする。そのとき、このn個の元の1次結合(線形結合)全部の集合をWとする。

$W=\left\{x\in V|\exists a_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,a_{n}\in K\\ [x=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}]\right\}$

これを上記のn個の元によって生成される部分空間という。

実際にWがベクトル空間であることを確認。

$0x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ 0x_{n}=0$

より

$0\in V$

また、

$\forall x(=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n}),\\ y(=b_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +b_{n}x_{n})\in W\\ [x+y=(a_{1}+b_{1})x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(a_{n}+b_{n})x_{n}\in W]$

$\forall c\in K\forall x(=a_{1}x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_{n}x_{n})\in W\\ [cx=(ca_{1})x_{1}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(ca_{n})x_{n}\in W]$

よって、Wはそれ自身ベクトル空間となる。

Kamimura's blog

2010年1月27日水曜日

数学学習の記録 74 1次結合全部の集合について。

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