2010年1月28日木曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを零環ではない環(Ring)とする。

R\ne\phi
(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a]\\ (3)\forall a\in R\exists -a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]
(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R\\ [a(b+c)=ab+ac\wedge(a+b)c=ac+bc]\\ (7)\exists 1\in R\forall a\in R[1a=a1=a]
R\ne\left\{0\right\}

また、Mを集合とし写像(スカラー倍)

R\times M\rightarrow M

を定義する。

MがR上の加群(Module)。

M\ne\phi
(1)\forall x,y,z\in M[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in M\forall x\in M[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in M\exists -x\in M[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in M[x+y=y+x]
(5)\forall a\in R\forall x,y\in M[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in R\forall x\in M[(a+b)x=ax+bx]\\ (7)\forall a,b\in R\forall x\in M[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in M[1x=x]


以上の定義より、Mが体K上の加群であるとき、MはK上のベクトル空間(vector space)となる(逆に考えるとベクトル空間をより一般化(体から環まで拡張)したものが加群)。
時刻: 22:30 ラベル: , ,

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