数学学習の記録 76.2 商群と商加群について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring),

$R\ne\phi$

$(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\ (2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\ (3)\forall a\in R-a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\ (4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]$

$(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\ (6)\forall a,b,c\in R\\ [a(b+c)=ab+ac\wedge (a+b)c=ac+bc]\\ (7)\forall a\in R[1a=a]$

MをR-加群、

$M\ne\phi$

$(1)\forall x,y,z\in M[(x+y)+z=x+(y+z)]\\ (2)\exists 0\in M\forall x\in M[x+0=0+x=x]\\ (3)\forall x\in M\exists -x\in M[x+(-x)=(-x)+x=0]\\ (4)\forall x,y\in M[x+y=y+x]$

$(5)\forall a\in R\forall x,y\in M[a(x+y)=ax+ay]\\ (6)\forall a,b\in R\forall x\in M[(a+b)x=ax+bx]\\ (7)\forall a,b\in R\forall x\in M[(ab)x=a(bx)]\\ (8)\forall x\in M[1x=x]$

NをMの部分加群とする。

$N\subset M\\ (1)0\in N\\ (2)\forall x,y\in N[x+y\in N]\\ (3)\forall x\in N[-x\in N]\\ (4)\forall a\in R\forall x\in N[ax\in N]$

このとき、Mを加法群、Nをその部分群と考え、M/Nを商群とする。このとき、M/Nの加法は商群の加法と同様に定め、スカラー倍を

$\forall a\in R xN\in M/N[a(xN)=(ax)N]$

と定める。このとき、M/Nは加法群であり、

$(1)\forall a\in R\forall xN,yN\in M/N\\ [a(xN+yN)=(ax)N+(ay)N]\\ (2)\forall a,b\in R\forall xN\in M/N\\ [(a+b)xN=(ax)N+(bx)N]\\ (3)\forall a,b\in R\forall xN\in M/N\\ [(ab)xN=a(b(xN))]$

$(4)\forall xN\in M/N[1(xN)=xN]$

よりM/Nは環(Ring)R上の加群となる。このR-加群M/NのことをMのNによる商加群という。

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2010年1月29日金曜日

数学学習の記録 76.2 商群と商加群について。

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