数学学習の記録 78.2 自然数の整列性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Nを自然数とする。

$(N,0,\sigma),0\in N,\sigma:N\rightarrow N$

$(1)\forall n,m\in N[\sigma(n)=\sigma(m)\Rightarrow n=m]\\ (2)\forall n\in N[\sigma(n)\ne0]\\ (3)\forall S\subset N[(0\in S\wedge\sigma(S)\subset S)\Rightarrow S=N]$

Nの整列性について。

集合SをNの部分集合とし、集合Tを

$T=\left\{n\in N|\forall x\in S[n\leq x]\right\}$

とする。このとき、

$0\in T$

である。また、

$x+1\in N,x+1\notin T$

より、

$T\ne N$

となる。

このとき、上記の(3)より

$\forall S\subset N[S\ne N\Rightarrow( 0\notin S\vee\neg(\sigma(S)\subset S))]$

となので、

$\exists m\in T[\sigma(m)\notin T]\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (\ast )$

が成り立つ。このmについて、Tの元なので、

$\forall x\in S[m\leq x]$

となる。ここで、mがSの元ではない、

$m\notin S$

と仮定すると、

$\forall x\in S[m<x]$

となり、

$\forall x\in S[\sigma(m)\leq x]$

が成り立つ。よって

$\sigma(m)\in T$

となるが、これは

$\exists m\in T[\sigma(m)\notin T]\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ (\ast )$

と矛盾する。よって、mはSの元で、Sの最小元になる。

$m\in S\wedge\forall x\in S[m\leq x]$

以上をまとめると、自然数Nの任意の空でない部分集合Sは最小元min Sを持つ。

$\forall S(\ne\phi)\subset N\exists m\in S\forall n\in S[m\leq n]$

Kamimura's blog

2010年1月31日日曜日

数学学習の記録 78.2 自然数の整列性について。

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