数学学習の記録 60 群(Group)、合同関係と剰余類

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(G,)=Gを群(Group)とする。また、HをGの部分群とする。

$H\subset G\\ (1)H\ne\phi\\ (2)\forall a,b\in H[ab\in H]\\ (3)\forall a\in H[a^{-1}\in H]$

GのHを法とする左合同関係 $\equiv$ は同値関係、つまり

$(1)\forall a\in G[a\equiv a\ (mod\ H)]\\ (2)\forall a,b\in G[a\equiv b\ (mod\ H)\Rightarrow b\equiv a\ (mod\ H)]\\ (3)\forall a,b,c\in G[a\equiv b\ (mod\ H)\wedge b\equiv c\ (mod\ H)\\$

$\Rightarrow a\equiv c\ (mod\ H)]$

なので、群(Group)Gは左合同関係によって類別することができる。

Gの元aを含む同値類をHを法とするaの左剰余類という。

右合同関係も左合同関係と同様で群(Group)Gを右合同関係によって類別することができ、Gの元aを含む同値類をHを法とするaの右剰余類という。

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2010年1月13日水曜日

数学学習の記録 60 群(Group)、合同関係と剰余類

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