数学学習の記録 60.2 群(Group)と剰余類の濃度、有限部分群の位数

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Gを群(Group)、HをGの有限部分群とする。

$(1)\forall a,b,c\in G[(ab)c=a(bc)]\\ (2)\exists 1\in G\forall a\in G[1a=a1=a]\\ (3)\forall a\in G\exists a^{-1}[aa^{-1}=a^{-1}a=1]$

$o(H)<\aleph _{0}$

(o()は有限群の元の個数)

$(1)H\ne\phi\\ (2)\forall a,b\in H[ab\in H]$

HとHを法とする左剰余類の位数に関して、

$\forall a,h_{1},h_{2}\in H[ah_{1}=ah_{2}\Rightarrow h_{1}=h_{2}]$

写像HからaHへの写像f(h)=ahは全単射となるので、

$\bar{aH}=o(H)$

$\bar{aH}$

はaHの元の個数(濃度)。

が成り立つ。

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