数学学習の記録 100.2 p次元Euclid空間の部分集合の外測度について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

p次元Euclid空間 $R^{p}$ の初等集合全体の集合をE(これは集合環となる)とし、集合環E上の正則な加法的な集合関数を $\mu$ とする。

加法性。

$\forall A,B\in E\\<br />\left[A\cap B=\phi\Rightarrow \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)\right]$

非負性。

$\forall A\in E\left[0\leq\mu(A)\right]$

有限性。

$\forall A\in E\left[\mu(A)\in R\right]$

正則性。

$\forall A\in E\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists G\in O(E)\exists F\in A(E)$

$\left[\left(F\subset A\subset G\right)\wedge\left(\mu(G)-\varepsilon<\mu(A)<\mu(F)+\varepsilon\right)\right]$

(O(E)、A(E)はそれぞれ初等集合全体の集合Eの開集合(初等開集合)全部の集合、閉集合(初等閉集合)全部の集合)

そのとき、p次元Euclid空間 $R^{p}$ の任意の部分集合Aの外測度 $\mu^{\ast}(A)$ 。

$\forall A\subset R^{p}\\<br />\left[\mu^{\ast}(A)\\<br />=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})\in\bar{R}}\left|A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\left(A_{n}\in O(E)\right)\right\}\right\right]$

Kamimura's blog

2010年2月22日月曜日

数学学習の記録 100.2 p次元Euclid空間の部分集合の外測度について。

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