数学学習の記録 101.2 p次元Euclid空間の部分集合の対称差とその性質について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とする。

$A,B\subset R^{p}$

A,Bの対称差。

$A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)$

A,B,C,Dを $R^{p}$ の部分集合とするとき、対称差について

$A\triangle B\\ =(A-B)\cup(B-A)\\ =(B-A)\cup(A-B)\\ =B\triangle A$

$A\triangle\phi\\ =(A-\phi)\cup(\phi-A)\\ =A$

$A\triangle A\\ =(A-A)\cup(A-A)\\ =\phi$

$x\in A\triangle C=(A-C)\cup(C-A)\\ \Rightarrow (x\in A\wedge x\notin C)\vee(x\in C\wedge x\notin A)$

$\Rightarrow\left((x\in B\Rightarrow x\in B-C)\vee(x\notin B\Rightarrow x\in A-B)\right)\\ \vee\left((x\in B\Rightarrow x\in B-A)\vee(x\notin B\Rightarrow x\in C-B)\right)$

$\Rightarrow x\in\left((B-C)\cup(C-B)\right)\vee\left(x\in(A-B)\cup(B-A)\right)$

$\Rightarrow x\in(A\triangle B)\vee x\in(B\triangle C)\\ \Rightarrow x\in(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$

よって、

$A\triangle C\subset(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$

また、

$(A\cup B)\triangle(C\cup D)\subset(A\triangle C)\cup(B\triangle D)\\ (A\cap B)\triangle (C\cap D)\subset(A\triangle C)\cup(B\triangle D)\\ (A-B)\triangle(C-D)\subset(A\triangle C)\cup(B\triangle D)$

等も成り立つ。

以上をまとめると、

$(1)\forall A,B\subset R^{p}[A\triangle B=B\triangle A]$

$(2)\forall A\subset R^{p}[(A\triangle\phi=A)\wedge (A\triangle A=\phi)]$

$(3)A\triangle C\subset(A\triangle B)\cup(B\triangle C)$

$(4)\forall A,B,C,D\subset R^{p}$

$(A\cup B)\triangle(C\cup D)\subset(A\triangle C)\cup(B\triangle D)\\ (A\cap B)\triangle (C\cap D)\subset(A\triangle C)\cup(B\triangle D)\\ (A-B)\triangle(C-D)\subset(A\triangle C)\cup(B\triangle D)$

が成り立つ。

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2010年2月23日火曜日

数学学習の記録 101.2 p次元Euclid空間の部分集合の対称差とその性質について。

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