数学学習の記録 102.4 集合列と外測度、極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

p次元Euclid空間の部分集合と部分集合の列を、

$A\subset R^{p}\\ (A_{n})_{n\in N}(A_{n}\subset R^{p})$

とし、 $\mu^{\ast}$ を外測度とする。

このとき、

$A_{n}\rightarrow A\ \ \ (n\rightarrow\infty)\wedge \mu^{\ast}(A_{n})\in R$

と仮定すると、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{d(A_{n},A)}=0$

となる。また数学学習の記録 101.3 p次元Euclid空間の部分空間同士の距離とその性質について。の(4)より、

$\left|\mu^{\ast}(A_{n})-\mu^{\ast}(A)\right|\leq d(A_{n},A)$

が成り立つので、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\left|\mu^{\ast}(A_{n})-\mu^{\ast}(A)\right|}=0$

すなわち、

$\lim_{n\rightarrow \infty}{\mu^{\ast}(A_{n})=\mu^{\ast}(A)$

となる。

以上をまとめると、

$\mu^{\ast}$ をp次元Euclid空間の外測度とするとき、

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \subset R^{p}$

$\left[\forall n\in N\left[\mu^{\ast}(A_{n})\in R\right]\\ \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}{\mu^{\ast}(A_{n})}=\mu^{\ast}(\lim_{n\rightarrow\infty}{A_{n}})\right]$

が成り立つ。

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2010年2月24日水曜日

数学学習の記録 102.4 集合列と外測度、極限について。

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