数学学習の記録 102 部分集合間の距離と集合列の収束について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

p次元Euclid空間の部分集合間の距離をdとする。

$\mu^{\ast}$ を部分集合の外測度。

$\forall A\subset R^{p}\\<br />\left[\mu^{\ast}(A)\\<br />=\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})\in\bar{R}}\left|A\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\left(A_{n}\in O(E)\right)\right\}\right\right]$

(Eは初等集合全部の集合(集合環)、O(E)はEの元で開集合である元全部の集合)

$\forall A,B\subset R^{p}\\<br />\left[d(A,B)=\mu^{\ast}(A\triangle B)\left(=\mu^{\ast}((A-B)\cup(B-A)\right)\right]$

$R^{p}$ の部分集合の集合列、

$\left(A_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n}\subset R^{p}\right)$

が $R^{p}$ の部分集合Aに収束する。

$\lim_{n\right\infty}{d(A_{n},A)=0$

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall n\in N\\<br />\left[n_{0}\leq n\Rightarrow d(A_{n},A)=0\right]$

このとき、簡略して

$A_{n}\rightarrow A\ \ \ (n\rightarrow \infty)$

と記述する。

Kamimura's blog

2010年2月24日水曜日

数学学習の記録 102 部分集合間の距離と集合列の収束について。

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