数学学習の記録 103 p次元Euclid空間の部分集合の有限可測性と可測集合について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Aをp次元Euclid空間の部分集合、Eを初等集合全部の集合(集合環)、 $\mu$ をE上の正則な加法的集合関数、この関数から定められる距離をdとする。

$A\subset R^{p}$

$\mu:E\rightarrow R$

$\forall A\in E[0\leq\mu(A)]$

$\forall A,B\in E\\ [A\cap B=\phi\Rightarrow \mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)]$

$\forall A\in E\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists G\in O(E)\exists F\in A(E)$

$[F\subset A\subset G\wedge\mu(G)-\varepsilon<\mu(A)<\mu(F)+\varepsilon]$

(O(E)は初等開集合全部の集合、A(E)は初等閉集合全部の集合)

$\forall A,B\in R^{p}\\ [d(A,B)=d_{\mu}(A,B)=\mu^{\ast}(A\triangle B)]$

( $\mu^{\ast}$ は外測度)

Aが有限 $\mu$ 可測。

$\exists A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in E\\ \left[\lim_{n\rightarrow \infty}{d(A_{n},A)=0\right]$

有限 $\mu$ 可測集合全体の集合を $M_{F}(\mu)$ と記述する。

Bが $\mu$ 可測集合。

Bは有限 $\mu$ 可測集合の可算和となっている。

$\mu$ 可測集合全体の集合を $M(\mu)$ と記述する。

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