数学学習の記録 106 測度空間の可測単関数と可測集合上の積分について。 | Kamimura's blog

2010年2月28日日曜日

数学学習の記録 106 測度空間の可測単関数と可測集合上の積分について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とする。

$\phi\ne M\subset P(X)$

P(X)はXのべき集合。

$\forall A,B\in M[A\cup B\in M\wedge A-B\in M]$

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in M$

$\left[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in M\right]$

$X\in M$

$\mu:M\rightarrow\bar{R}$

$\mu(\phi)=0$

$\forall A\in M[0\leq\mu(A)]$

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in M$

$\left[\mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})}\right]$

Aをこの測度空間の可測集合とする。

$A\in M$

A上の可測単関数をsとする。

$s:A\rightarrow R$

$\forall a\in R$

$\left[\left\{x\in A|\forall x\in A[s(x)>a]\right\}\in M\right]$

$card\ s(A)<\aleph_{0}$

すなわち、

$\exists n\in N[s(A)=\left\{c_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,c_{n}\right\}]$

さらに、

$\forall x\in A[0\leq s(x)]$

とする。ここで、

$E_{i}=\left\{x\in A|s(x)=c_{i}\right\}\ \ \ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n)$

とすると、

$A=\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}\ \ \ (E_{i}\subset X)$

$\forall i,j\in \left\{1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n\right\}\\<br />[i\ne j\Rightarrow E_{i}\cap E_{j}=\phi]$

となる。また、

$K_{E_{i}}:X\rightarrow\left\{0,1\right\}\ \ \ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ n)$

$\forall x\in X$

$\left[K_{E_{i}}(x)=\left{1\ \ \ (x\in E_{i})\\0\ \ \ (x\in X-E_{i})\right\right]$

すなわち、

$K_{E_{i}}\ \ \ (i=1,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,n)$

を $E_{i}$ のXにおける特性関数とし、

$s=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}K_{E_{i}}$

とおく。

このとき、sのA上の積分。

$\int_{A}s\ du=\sum_{i=1}^{n}{c_{i}\mu(E_{i})}$

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