数学学習の記録 79.1 極限と拡大実数系について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

数列、

$(a_{n})_{n\in N}$

が正の無限大に発散する。

$\forall M\in N\exists n_{0}\in N[n_{0}\leq n\Rightarrow M< a_{n}]$

このとき、

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=+\infty$

あるいは、

$a_{n}\rightarrow +\infty$

と記述する。

上記の数列が負の無限大に発散する。

$\forall M\in N\exists n_{0}\in N[n_{0}\leq n\Rightarrow a_{n}<M]$

このとき、

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=-\infty$

あるいは、

$a_{n}\rightarrow -\infty$

と記述する。

実数に正の無限大、負の無限大を加えたものを拡大実数系といい、

$\bar{R}=R\cup\left\{-\infty,+\infty\right\}$

と記述する。拡大実数系の順序(大小)については、

$\forall a\in R[-\infty<a<+\infty]$

とし、加法(和)については、

$\forall a\in R[a+(+\infty)=+\infty\wedge a+(-\infty)=-\infty]$

乗法(積)については、

$\forall a\in R[(a>0\Rightarrow (a\cdot(+\infty)=+\infty\wedge a\cdot(-\infty)=-\infty))\\ \wedge (a<0\Rightarrow (a\cdot(+\infty)=-\infty\wedge a\cdot(-\infty)=+\infty))]\\$

$(+\infty)\cdot(+\infty)=(-\infty)\cdot(-\infty)=+\infty\\ (+\infty)\cdot(-\infty)=-\infty$

除法については、

$\forall a\in R[\frac{a}{+\infty}=\frac{a}{-\infty}=0]$

とする。

Kamimura's blog

2010年2月1日月曜日

数学学習の記録 79.1 極限と拡大実数系について。

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