数学学習の記録 79.3 収束する数列の積の極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

2つの実数列をそれぞれ、

$(a_{n})_{n\in N},(b_{n})_{n\in N}(a_{n},b_{n}\in R)$

とし、どちらの数列も収束すると仮定する。

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta$

$\forall \varepsilon\in R\exists n_{0}\in N[n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\varepsilon\wedge |b_{n}-\beta|<\varepsilon]$

また、この数列は有界となる。

$\exists M\in R(M>0)\forall n\in N|[a_{n}|\leq M]$

すると、

$\forall n\in N[n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}b_{n}-\alpha\beta|\\ \leq|a_{n}(b_{n}-\beta)+\beta(a_{n}-\alpha)|\\ \leq|a_{n}|\ |b_{n}-\beta|+|\beta|\ |a_{n}-\alpha|\\ <\varepsilon(M+|\beta|)]$

となる。

まとめると、数列、

$(a_{n})_{n\in N},(b_{n})_{n\in N}(a_{n},b_{n}\in R)$

がともに収束するとき、

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n})(\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n})$

が成り立つ。

Kamimura's blog

2010年2月1日月曜日

数学学習の記録 79.3 収束する数列の積の極限について。

0 コメント:

コメントを投稿