数学学習の記録 79.4 収束する数列の除法の極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

2つの実数列をそれぞれ、

$(a_{n})_{n\in N},(b_{n})_{n\in N}$

とし、さらに、

$\forall n\in N[b_{n}\ne0]$

とする。このとき、2つの数列が収束し、さらに一方の数列の極限は0ではないとする。

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\ne=0$

このとき、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\\ [n_{0}\leq n\Rightarrow(|b_{n}-\beta|<\varepsilon\wedge|b_{n}-\beta|<\frac{|\beta|}{2}]$

が成り立つ。よって、

$n_{0}\leq n\Rightarrow|\beta|=|\beta-b_{n}+b_{n}|\leq|b_{n}-\beta|+|b_{n}|<\frac{|\beta|}{2}+|b_{n}|$

より、

$n_{0}\leq n\Rightarrow\frac{|\beta|}{2}<b_{n}$

となり、

$n_{0}\leq n\Rightarrow\frac{2}{|\beta|}>\frac{1}{|b_{n}|}$

が成り立つので、

$n_{0}\leq n\Rightarrow|\frac{1}{b_{n}}-\frac{1}{\beta}|=\frac{|b_{n}-\beta|}{|b_{n}|\ |\beta|}<\varepsilon\cdot\frac{2}{|\beta|}\cdot\frac{1}{|\beta|}$

よって、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{\beta}$

このことから、

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n})(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{b_{n}})=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}}$

Kamimura's blog

2010年2月1日月曜日

数学学習の記録 79.4 収束する数列の除法の極限について。

0 コメント:

コメントを投稿