数学学習の記録 81 無限級数の結合律に類似する性質について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列を、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

とし、この実数列から定められる無限級数が収束して和sを持つと仮定する。

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}=s$

このとき、任意の数の項を括弧でくくり、新たな数列、無限級数を定める。例えば、

$(b_{n})_{n\in N}(b_{n}\in R)\\ b_{0}+b_{1}+b_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ =\\ (a_{0}+a_{1}+a_{2})+(a_{3}+a_{4})+(a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

このとき、無限級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}}=t$

の部分和の数列、

$(t_{n})_{n\in N}(t_{n}\in R)\\ (t_{0}=b_{0},t_{1}=b_{0}+b_{1},t_{2}=\sum_{n=0}^{2}{b_{n}},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ )$

は、数列

$(s_{n})_{n\in N}(s_{n}\in R)$

の部分列である。ここで、

$s_{n}\rightarrow s$

より、数列

$(s_{n})_{n\in N}$

の部分列もsに収束するので、

$t_{n}\rightarrow s$

以上より、

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}=s=\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}}$

以上をまとめると、無限級数においても結合律に類似の法則が成り立つ。

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R)$

$\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}=\\ (a_{0}+a_{1}+a_{2})+(a_{3}+a_{4})+(a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8})+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\$

Kamimura's blog

2010年2月3日水曜日

数学学習の記録 81 無限級数の結合律に類似する性質について。

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