2010年2月3日水曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

等比数列、等比級数をそれぞれ

(ar^{n})_{n\in N},\sum_{n=0}^{\infty}{ar^{n}}(a,r\in R,a\ne0)

とする。この等比級数の部分和を考える。

\sum_{i=0}^{n}{ar^{i}}=a+ar+ar^{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +ar^{n}


r=1

のとき、

\sum_{i=0}^{n}{ar^{i}}=na

より、

\sum_{n=0}^{\infty}{ar^{n}}=\left\{+\infty(a>0)\\<br />-\infty(a<0)


r\ne1

のとき、

\sum_{i=0}^{n}{ar^{i}}=\frac{a(1-r^{i+1})}{1-r}\\<br />(1-r)\sum_{i=0}^{n}{ar^{i}}=a(1-r^{i+1})\\<br />\sum_{i=0}^{n}{ar^{i}}=\frac{a(1-r^{i+1})}{1-r}\\<br />=\frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\cdot r^{i+1}


となる。よって、

|r|<1

のとき、

\sum_{n=0}^{\infty}{ar^{n}}=\frac{a}{1-r}\\


|r|>1

のときは等比級数は収束しない。

時刻: 19:36 ラベル: , ,

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