数学学習の記録 82.1 無限級数の収束と数列の極限について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数列、その無限級数をそれぞれ、

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R),\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}$

とする。このとき、無限級数が収束すると仮定すると、数学学習の記録 82 無限級数が収束するための必要十分条件(コーシーの条件)について。より、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N(m\leq n)\\ [n_{0}\leq m\leq n\Rightarrow| \sum_{i=m}^{n}{a_{i}}|<\varepsilon]$

が成り立つ。このとき、

とおけば、

$n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}|=|\sum_{i=n}^{n}{a_{i}}|<\varepsilon$

以上を記述し直すと、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall n\in N\\ [n_{0}\leq n\Rightarrow |a_{n}|<\varepsilon]$

まとめると、無限級数が収束するならば、元の数列の極限は0である。

$(\exists1\alpha\in R[\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}=\alpha])\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=0$

Kamimura's blog

2010年2月4日木曜日

数学学習の記録 82.1 無限級数の収束と数列の極限について。

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