数学学習の記録 82.3 正項級数の比較定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

2つの実数列(負では無い)、その正項級数を

$(a_{n})_{n\in N},(b_{n})_{n\in N},\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}},\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}}\\ (\forall n\in [a_{n}\geq0\wedge b_{n}\geq0)$

とする。このとき、

$\exists k\in R(k>0)\forall n\in N[a_{n}\leq kb_{n}]$

と仮定する。

このとき、

$\forall n\in N[\sum_{i=0}^{n}{a_{i}}\leq k\sum_{i=0}^{n}{b_{i}}]$

$\sum_{i=0}^{n}{b_{i}}$

が収束するならば、この部分和は有界なので、

$\exists M\in R[\sum_{i=0}^{n}{a_{n}}\leq k\sum_{i=0}^{n}{b_{i}}\leq kM]$

となり、部分和

$\sum_{i=0}^{n}{a_{n}}$

も有界となるので、この部分和も収束する。すなわち、正項級数、

$\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}}$

が収束するならば、正項級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}$

も収束する。

また、この対偶として、正項級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}}$

が発散するならば、正項級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}}$

も発散する。

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