数学学習の記録 83 関数の極限の加法(和)について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを関数、aを実数とし、その定義域は(a-r,a),(a,a+r)を含むとする。さらに、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\alpha,\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}=\beta$

とする。そのとき、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta_{1},\delta_{2}\in R(\delta_{1},\delta_{2}>0)\forall x\in R\\<br />[(0<|x-a|<\delta_{1}\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\frac{\varepsilon}{2})$

$\wedge(0<|x-a|<\delta_{2}\Rightarrow |g(x)-\beta|<\frac{\varepsilon}{2}]$

ここで、

$\delta=\min\left\{\delta_{1},\delta_{2}}$

とおけば、

$\forall x\in R[0<|x-a|<\delta\Rightarrow|(f(x)+g(x))-(\alpha+\beta)|\\<br />=|(f(x)-\alpha)+(g(x)-\beta)\leq|f(x)-\alpha|+|g(x)-\beta|\\<br /><\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon]$

よって、

$\lim_{x\rightarrow a}{(f(x)+g(x))}=\alpha+\beta=\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}g(x)$

Kamimura's blog

2010年2月5日金曜日

数学学習の記録 83 関数の極限の加法(和)について。

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