数学学習の記録 83.1 関数の極限の乗法(積)について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを関数、aを実数とし、f,gの定義域は(a-r,a),(a,a+r)を含むとする。さらに、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\alpha,\lim_{x\rightarrow a}{g(x)}=\beta$

とする。そのとき、aの十分近いところではf(x)は有界である。

$\exists M\in R[|f(x)|\leq M]$

また、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta_{1}\in R(\delta_{1}>0)\forall x\in R\\ [0<|x-a|<\delta_{1}\Rightarrow|f(x)-\alpha|<\varepsilon]$

と、

$\exists\delta_{2}\in R(\delta_{2}>0)\forall x\in R\\ [0<|x-a|<\delta_{2}\Rightarrow|g(x)-\beta|<\varepsilon]$

が成り立つのて、

$\delta=\min\left\{\delta_{1},\delta_{2}\right\}$

とおくと、

$\forall x\in R[0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-\alpha\beta|\\ =|f(x)(g(x)-\beta)+\beta(f(x)-\alpha)\\ \leq|f(x)|\ |g(x)-\beta|\ +\ |\beta|\ |f(x)-\alpha|\\$