数学学習の記録 84 関数の極限と数列の極限の関係性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数とし、その定義域は(a-r,a),(a,a+r)(r>0)を含むとし、

$\exists1 \alpha\in R[\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=\alpha]$

とする。また、任意の実数列が

$(a_{n})_{n\in N}(a_{n}\in R,a_{n}\ne a,a_{n}\rightarrow a)$

を満たすと仮定する。

そのとき関数fの定義より、

$\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists \delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-\alpha|<\varepsilon]$

このとき、数列の定義より、

$\exists n_{0}\in N\forall n\in N\\ [n_{0}\leq n\Rightarrow 0<|a_{n}-a|<\delta\Rightarrow |f(a_{n})-\alpha|<\varepsilon]$

以上の流れを記号を含めて記述し直すと、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall n\in N\\ [n_{0}\leq n\Rightarrow |f(a_{n})-\alpha|<\varepsilon]$

すなわち、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{f(a_{n})}=\lim_{x\rightarrow \infty}{f(x)}$

Kamimura's blog