数学学習の記録 84.2 関数の連続性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習

fを関数、aを実数とし、fの定義域はあるaの近傍(a-r,a+r)(r>0)とする。そのとき、fがaにおいて連続。

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon]$

簡略して、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}=f(a)$

とも記述する。

fがaにおいて不連続、すなわちaにおいて連続ではない。

$\exists\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\forall\delta\in R(\delta>0)\exists x\in R\\ [|x-a|<\delta\wedge|f(x)-f(a)\geq\varepsilon]$

簡略して、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}\ne f(a)$

もちろん、

$\lim_{x\rightarrow a}{f(x)}$

自体が存在しない場合も不連続。

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