数学学習の記録 85.1 関数の連続性と中間値の定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数とし、fは閉区間[a,b]で連続とする。

$\forall x'\in [a,b]\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [|x-x'|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x')|<\varepsilon]$

また、f(a),f(b)が反対符号、すなわち、

とする。ここで、

と仮定する。そのとき、

$A=\left\{d\in R|a\leq d<b\wedge\forall x\in [a,d][f(x)<0)\right\}$

とする。すると、aはAの元で、bはAの上界であるので、sub Aが存在する。

$a\in A,A\ne\phi,\forall d\in A[d\leq b]$

ここで、

$\forall x\in R\exists d\in A[a\leq x<\sup A\\ \Rightarrow x<d<\sup A\Rightarrow f(x)<0]]$

が成り立つので、fの連続性より、

$\lim_{x<\sup A,x\rightarrow\sup A}{f(x)}\leq 0$

ここで、

$f(\sup A)<0\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

と仮定すると、

$\sup A\in A\wedge \sup A<b$

となり、fの連続性から、

$\exists \delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\\ [\sup A+\delta<b\wedge\\ ( x\in [\sup A,\sup A+\delta]\Rightarrow f(x)<0)]$

となり、

$\sup A+\delta\in A$

という矛盾がおこる。

よって、仮定*は偽となるので、

$f(\sup A)=0$

となる。

のときも同様。

以上のことをまとめると、関数fが閉区間[a,b]で連続でf(a)f(b)<0ならば、区間(a,b)にf(c)=0となるものが存在する。

$\forall x'\in [a,b]\forall \varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists\delta\in R(\delta>0)\forall x\in R\exists c\in (a,b)\\ [((|x-x'|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x')|<\varepsilon)\wedge f(a)f(b)<0)$

$\Rightarrow f(c)=0]$

Kamimura's blog

2010年2月7日日曜日

数学学習の記録 85.1 関数の連続性と中間値の定理について。

0 コメント:

コメントを投稿