数学学習の記録 86.5 微分可能な関数の商の微分可能性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを関数、その定義域を区間Iとし、関数f,gは区間Iで微分可能とする。

$\forall x\in I\exists f'(x),g'(x)\in R\\ \left[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\\ g'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right]$

区間Iのうち、

$g(x)\ne0$

の点について考え、関数f,gの商の関数、

$(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

を定義する。そのとき、

$\lim_{h\rightarrow0}{\frac{(\frac{f}{g})(x+h)-(\frac{f}{g})(x)}{h}}\\ =\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}}$

$=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}}\\ =\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)-f(x)g(x)}{hg(x+h)g(x)}}$

$=\lim_{h\rightarrow0}\left({\frac{(f(x+h)-f(x))g(x)}{hg(x+h)g(x)}-\frac{f(x)(g(x+h)-g(x))}{hg(x+h)g(x)}}\right)$

$=\lim_{h\rightarrow0}{\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-\frac{f(x)}{g(x+h)g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)}$

$=\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot\lim_{h\rightarrow0}{\frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}}-\lim_{h\rightarrow0}{\frac{f(x)}{g(x+h)g(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}$

$=f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)}-\frac{f(x)}{(g(x))^{2}}g'(x)\\ =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}$

以上をまとめると、定義域が区間Iの関数f,gが区間Iで微分可能ならば、g(x)=0の点を除いて、

$(\frac{f}{g})'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}$

が成り立つ。

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2010年2月8日月曜日

数学学習の記録 86.5 微分可能な関数の商の微分可能性について。

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