数学学習の記録 87.1 ロルの定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、閉区間[a,b]で連続で、f(a)=f(b)とし、さらにfは開区間(a,b)で微分可能とする。

そのとき、fが閉区間[a,b]において定数関数ならば、

fが閉区間[a,b]において定数関数ではない場合を考える。そのとき、

f(a)<f(d)の場合を考える。関数fは閉区間[a,b]で連続なので、区間[a,b]に最大点が存在する。その点をcとすると、

となるので、

となる。よってcは区間(a,b)におけるfの最大点、すなわち極大点で、さらに最初の定義によりfは区間(a,b)で微分可能、つまりcにおいて微分可能なので、数学学習の記録 87 極値点と微分係数について。より、

となる。f(a)>f(d)の場合も同様。

以上をまとめると、を関数、閉区間[a,b]で連続で、f(a)=f(b)とし、さらにfは開区間(a,b)で微分可能とすると、

が成り立つ。