数学学習の記録 89 コーシーの平均値の定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを区間[a,b]で連続で、区間(a,b)で微分可能な関数とし、

$\forall x\in (a,b)[g'(x)\ne0]$

とする。そのとき、関数、

はx=a、x=bのとき、ともに0となる。またこの関数も区間[a,b]で連続で、区間(a,b)で微分可能となる。よってロルの定理より、

$\exists c\in (a,b)[(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0]\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

また、

と仮定すると、ロルの定理より、

$\exists x\in (a,b)[g'(x)=0]$

となり、最初の仮定に反するので、

$g(a)\ne g(b)$

このことと*から、

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

以上をまとめると、

f,gを区間[a,b]で連続で、区間(a,b)で微分可能な関数とし、さらに

$\forall x\in (a,b)[g'(x)\ne0]$

ならば、

$\exists c\in (a,b)\left[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\right]$

ちなみに、関数gが恒等写像

のとき、上記は

$\exists c\in (a,b)\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)\right]$

となり、通常の平均値の定理となるので、上記のコーシーの平均値の定理は平均値の定理をより一般化したものということがわかる。

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