数学学習の記録 89.2 2つの積分可能関数と不等式について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

f,gを区間[a,b]で積分可能な関数とし、さらに

$\forall x\in [a,b][f(x)\leq g(x)]$

とする。そのとき、

$0\leq g(x)-f(a)$

$0\leq\int_{a}^{b} (g-f)$

となる。よって積分の線形性から、

$0\leq\int_{a}^{b}g-\int_{a}^{b}f\\ \int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}g$

が成り立つ。

まとめると、関数f,gが区間[a,b]で積分可能で

$\forall x\in [a,b][f(x)\leq g(x)]$

ならば、

$\int_{a}^{b}f\leq\int_{a}^{b}g$

となる。

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