数学学習の記録 90.1 微分積分法の基本定理について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

fを関数、区間Iで連続とし、関数fの原始関数をFとする。

また、a,bを区間Iの任意の点とする。そのとき、積分関数

$\int_{a}^{x}f$

$\exists C\in R\left[\int_{a}^{x}f=F(x)+C\right]$

が成り立つ。このとき、

$\int_{a}^{a}f=F(a)+C\\ 0=F(a)+C\\ C=-F(a)$

となる。よって、

$\int_{a}^{x}f=F(x)-C\\ \int_{a}^{x}f=F(x)-F(a)$

となり、xにbを代入すると、

$\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)$

となる。

以上をまとめると、関数fが区間Iで連続で、その原始関数をFとすると、

$\forall a,b\in I\left[\int_{a}^{b}f=F(b)-F(a)\right]$

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